المتجهات

المتّجهة

المتّجهة هي أحد الطرق المستخدمة في التحليل الاتّجاهيّ في الرياضيّات والتي تستخدم في العديد من التطبيقات المختلفة، فالمتّجه يُمثل بسهم ينطلق من نقطةٍ معينةٍ وينتهي إلى أخرى وفي اتجاهٍ معين، فتمثل نقطة بدأ هذا السهم أو المتجه نقطة التأثير، أمّا مقدار المتجه فهو عبارةٌ عن طول هذا المتجه، فيمثل الطول مقدار الكمية فقط، وأمّا اتجاه المتجه فيمثل الاتجاه للكمية المُقاسة في الفضاء والتي يتمّ تحديدها عن طريق زوايا اويلر، فلو تخيّلنا على سبيل المثال أنّ المتجه يمثل قوةً فيزيائيّة وهي المثال الأكثر شهرةً على استخدام المتجهات، فإنّ نقطة بدأ المتجه تمثل النقطة التي تؤثر فيها هذه القوة على الجسم، أمّا اتجاه المتجه فيمثل اتجاه القوة، وطوله يمثل مقدار هذه القوة الفيزيائية وفقاً للمقياس المتبع في رسم المتجه، أمّا في المخططات الثنائيّة الأبعاد ففي العادة يتمّ تمثيل المتّجهات التي تكون في البعد الثالث غير الممثل في الرسمة بدائرةٍ صغيرة في مكان تأثير المتجه، فإنّ رسم في داخل الدائرة نقطةٌ فيكون اتجاه المتجه إلى خارج الورقة أو المخطط، بينما لو رسمنا في داخل الدائرة حرف X فإنّه يمثل المتّجه إلى داخل المخطّط.

تطبيقات المتجهات

بما أنّ المتجهات تعتبر أحد الطرق الرياضية لتمثيل الأمور فيمكننا إجراء العمليات الرياضية على المتجهات، فيمثل المتجه رياضياً في العادة باستخدام المصفوفات، فيمثل باستخدام مصفوفةٍ تحتوي على عمودٍ واحد وثلاثة صفوف أو صفٍ واحد وثلاثة أعمدة، فتمثل هذه الأرقام الثلاث في داخل المصفوفة الإحداثيات الديكارتيّة لنقطة النهاية في الإحداثيات س،ص،ز بالترتيب، كما يمكن تمثيل المتّجه باستخدام باستخدام متّجهات الوحدة الأساسية.
يمكن إجراء العمليات الرياضية على المتجهات فيتساوى متجهان إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه، فيمكننا بذلك أيضاً تمثيلهما بنفس الطريقة رياضياً فتكون لهما نفس المصفوفة بغض النظر عن نقطة بداية كلٍّ منهم، أمّا جمع المتجهات وطرحها عن طريق جمع وطرح مصفوفاتهما فتكون المصفوفة الناتجة هي المتجه الناتج من هذه العملية، وكما يمكن تمثيل هذا عن طريق الرسم برسم بداية المتجه الأول عند نهاية المتجه الثاني مع المحافظة على اتجاه كلّ منهم، فيكون المتجه الناتج من هذه العملية من بداية المتجه الثاني إلى نهاية المتجه الأول، أي المتجه الذي يكمل المثلث مع المتجهين الآخرين.
في العادة في الفيزياء والرياضيات والهندسة يوجد نوعان من الكميات وهي الكميات المتجهة والكميات غير المتجهة، فالكميات المتجهة هي تلك الكميات التي يمكن وصفها عن طريق اتجاهٍ في الطبيعة ويمكن تمثيلها باستخدام المتّجه كالقوّة والسرعة والإزاحة والتسارع، وأمّا الكميات غير المتجهة فهي التي لا تحمل اتجاهاً في الطبيعة ولا يمكننا تمثيلها باستخدام المتجه كالطاقة والحرارة والزمن والكتلة، فيمكننا على سبيل المثال أن نقول أن شخصاً يسير بسرعة 5 كيلومترات في الساعة إلى الأمام أو الخلف أو أنّ شخصاً يؤثر بقوةٍ على الكرة إلى الأعلى، بينما لا يمكننا القول أنّ شخصاً يزن 80 كيلوجراماً إلى الأسفل، أو أنّ درجة الحرارة 25 درجة مئويةً إلى الأعلى.